| 非線形解析セミナーの記録（2024年度） |
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| 日時 | 1月23日(木) 15時00分〜 (通常と曜日，時間が異なります) |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟733室 |
| 講演者 |
西口 純矢 氏(東北大学)
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| 講演題目 | On $M^p$-theory of autonomous linear retarded systems in Banach spaces |
| 講演要旨 |
未知関数の時間微分が未知関数の過去の情報にも依存する微分方程式を遅延微分方程式と呼ぶ．
1908年の ICM において，Picard が過去と未来を区別できない古典力学の微分方程式の限界とその生物への適用不可能性を論じるなど，
遅延微分方程式の重要性が着実に認識されるようになった一方で，遅延微分方程式は常微分方程式の亜種として見なされる側面があった．
しかし，1960年半ばの J. Hale による遅延関数微分方程式という定式化の導入とその無限次元力学系研究を通じて，
遅延微分方程式は「遅延系」という研究領域として確立し，理論と応用の両観点で今もなお重要な地位を占めている．
このように，遅延系研究には十分な歴史があるが，遅延微分方程式それ自体は「通常の意味での時間発展方程式でない」という点で概念的困難さがある．
これは，遅延微分方程式は「時間発展方程式 = 力学系」という図式へのアンチテーゼであるとも言える．
この講演では，これまでの遅延微分方程式研究を振り返りながら，その困難さを整理する． 具体的には，遅延微分方程式の遅延関数微分方程式としての定式化や，Materials with memory をモチベーションとする無限遅延を含んだ理論の整理を行う． その後，ここ数年，講演者が行なっている遅延系に対する mild solution の研究の紹介と，その Banach 空間に値を取る方程式への拡張について論じる． |
| 日時 | 12月11日(水) 15時00分〜 (通常と曜日，時間が異なります) |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟735室 (通常と場所が異なります) |
| 講演者 |
清水良輔 氏(早稲田大学)
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| 講演題目 | Sierpinski carpet上の自己相似$p$-エネルギー形式と$p$-エネルギー測度 |
| 講演要旨 | 1980年代後半から急速に発展した「フラクタル上の解析学/確率論」では Sierpinski gasket や Sierpinski carpet を始めとした自己相似フラクタル上での熱拡散 (Brown運動) の研究が中心であったが, 多くの評価が確率論的解釈に依存していることが障害となり, 単純な $L^p$-拡張, すなわち $(1,p)$-Sobolev 空間と対応する $p$-エネルギー汎関数/測度の定式化, すらままならない状況であった. 本講演では, Sierpinski carpet のグラフ近似列上の離散エネルギーの (部分列) スケール極限としての $(1,p)$-Sobolev空間と自己相似性を有するDirichlet $p$-エネルギーの構成法， 可分反射性や正則性 (連続関数の中で稠密) などといったSobolev空間の基本的性質に関する結果，及びAhlfors正則等角次元と呼ばれる幾何学的量と$p$-エネルギー測度の関連を述べる. 本研究は Mathav Murugan 氏 (University of British Columbia) との共同研究に基づく. |
| 日時 | 11月25日(月) 15時00分〜 (通常と曜日，時間が異なります) |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟631B室 (通常と場所が異なります) |
| 講演者 |
瀬片純市 氏(九州大学)
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| 講演題目 | 一般化Korteweg-de Vries方程式の散乱問題 |
| 講演要旨 | 本講演では, 一般化Korteweg-de Vries方程式 (gKdV) の散乱問題 について考える. まず, 初期値が小さい場合について考察し, 初期値 がある重みつきSobolev空間に入っているならば, (gKdV)の解は 同クラスで散乱し, 漸近状態も同じクラスに入ることを示す. さらに, 重みつきSobolev空間において(gKdV)の解が散乱する ための必要十分条件を紹介する. 証明のポイントの一つは, Fourier-Lebesgue空間よばれる空間での解の時空間評価を用いる 点である. 本講演は眞崎 聡 氏 (北海道大)との共同研究に基づく. |
| 日時 | 8月5日(月) 16時45分〜(通常と曜日が異なります) |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟733室 |
| 講演者 |
熊谷隆 氏 (早稲田大学)
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| 講演題目 | トラップモデルの熱核評価と定量的均質化 |
| 講演要旨 | 連続時間ランダムウォークで，各々の頂点における指数滞在時間の平均もランダムなモデルを考える． 特に，この平均が裾の重い分布（ヘヴィーテイル）の時，粒子は滞在時間の平均が大きい点に長く留まる，つまりその点がトラップになり異常拡散現象が生じる． このようなモデルはブショー（Bouchaud）のトラップモデルと呼ばれ，これまでに様々な研究がなされてきた． （例えば，高次元ブショートラップモデルのスケール極限には，分数冪時間微分拡散方程式に対応する，ブラウン運動の時間変更過程が現れる．） 本講演では，１次元ブショートラップモデルのスケール極限，熱核の振動，定量的均質化に関する成果を報告する． 特に，トラップの分布の裾の重さを表すパラメータを変化させることで，これらの性質がどのように変化するかについて述べる． 本講演の内容は，S. Andres氏（Braunschweig工科大学）D. Croydon氏（京都大学）との共同研究に基づく． |
| 日時 | 7月19日(金) 16時45分〜 |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟733室 |
| 講演者 |
高橋仁 氏 (東京工業大学)
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| 講演題目 | Sobolev 優臨界な半線形熱方程式における臨界ノルム爆発について |
| 講演要旨 | 冪乗型の非線形項を持つ半線形熱方程式を考える． この方程式にはスケール不変性があり，臨界ノルム(スケール不変な Lebesgue ノルム)が定まる． 本発表では，解の上限ノルムが有限時間で爆発するとき臨界ノルムも爆発するか，という問題を考える． 主結果では，非線形項の冪が Sobolev の臨界指数よりも大きいとき，解の球対称性や爆発のタイプによらず， 上限ノルムの爆発時刻において臨界ノルムも常に爆発するということを示す． なお本発表の内容は三浦英之氏(東京工業大学)との共同研究にもとづく． |
| 日時 | 6月21日(金) 16時45分〜 |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟733室 |
| 講演者 |
高山正宏 氏 (慶應義塾大学)
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| 講演題目 | A priori estimates for solutions to equations of motion of an inextensible hanging string |
| 講演要旨 | We consider the initial boundary value problem to equations of motion of an inextensible hanging string of finite length under the action of the gravity. In this problem, the tension of the string is also an unknown quantity. We derive a priori estimates for solutions to the initial boundary value problem in weighted Sobolev spaces under a natural stability condition. This talk is based on a joint work with Professor Tatsuo Iguchi (Keio Univ.). |
| 日時 | 5月17日(金) 15時00分〜 |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟631A室(通常と場所・時間が異なります) |
| 講演者 |
Qing Liu 氏 (OIST) Xiaodan Zhou 氏 (OIST) |
| 講演題目 |
Qing Liu 氏 A PDE-based approach to Borell-Brascamp-Lieb inequality Xiaodan Zhou 氏 Uniqueness of Green functions in metric spaces, yes and no |
| 講演要旨 |
Qing Liu 氏 In this talk, we provide a new PDE perspective for the celebrated Borell-Brascamp-Lieb inequality. In contrast to previously known proofs involving techniques from convex analysis or optimal transport, our new proof is based on properties of diffusion equations of porous medium type, including a generalized concavity maximum principle and large time asymptotics. Our approach reveals a deep connection between the Borell-Brascamp-Lieb inequality and nonlinear parabolic equations. We also recover the equality condition in the special case of the Prekopa-Leindler inequality by further exploiting additional properties of the heat equation. This talk is based on recent joint work with Kazuhiro Ishige and Paolo Salani. PDF版 Xiaodan Zhou 氏 Zhou 氏の講演要旨 |
| 日時 | 4月19日(金) 17時00分〜 |
| 場所 | 矢上キャンパス14棟733室 |
| 講演者 |
高橋博樹 氏(慶應義塾大学)
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| 講演題目 | ヘテロケイオス力学系の周期軌道の分布と大偏差原理について |
| 講演要旨 |
区間や円周など、1次元多様体上の写像の反復合成による力学系の構造
についてはすでに膨大な研究がなされ、精密な理解が得られている。
今後の研究の課題は高次元、すなわち2次元以上の多様体の上の力学系であり、
重要な未解決問題が多く残されている。
本講演では、高次元力学系を理解するためのトイモデルとして 講演者らが最近導入した「ヘテロケイオス・ベーカーマップ」 という具体的な力学系を紹介する。その定義自体は中学生でも理解可能だが、 その力学系の構造は非常に複雑になる。本講演では特に ヘテロケイオス・ベーカーマップの周期軌道に焦点を絞り、 複雑さの一端を理解しようとする試み、およびこれまでに得られた成果を報告する。 本講演内容の一部は斎木吉隆氏（一橋大）、James A. Yorke氏（Univ. Maryland）、 山本謙一郎氏（長岡技科大）との共同研究に基づく。 |