| 非線形解析セミナーの記録（２０１９年度） |
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| 日時 | １２月１１日（水） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 前川 泰則 氏（京大・理） |
| 講演題目 | Gevrey stability of shear boundary layer for two dimensional Navier-Stokes flow |
| 講演要旨 | We investigate the stability of boundary layer solutions in the inviscid limit for the two dimensional incompressible Navier-Stokes equations. We prove that, if the shear boundary layer is monotonic and concave, then it is stable in the inviscid limit over some time interval under perturbations with some Gevrey regularity. The proof relies on the resolvent analysis for the Orr-Sommerfeld operator. This talk is based on a joint work with David Gerard-Varet (Paris 7) and Nader Masmoudi (NYU). |
| 日時 | １１月２９日（金） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 齊藤 竜彦 氏（防災科研） |
| 講演題目 | 地球物理学分野における津波のモデリング |
| 講演要旨 | 津波の計測は，長らく湾内観測が主流であったが，2000年代以降，沖合での津波観測が世界で普及し，東北地震後には，震源域内の観測によって津波発生場を直接検知する態勢もとられるようになった．沿岸から沖合へと観測範囲が拡大することで，より短波長の津波や地殻弾性の影響を受ける津波を再現する数理モデルが利用されるようになり，さらに，震源域内観測に対応するために流体ー弾性体の相互作用を考慮した津波発生過程に関する研究が進められている． 地球物理学分野で取り組まれている津波の理論・数値シミュレーション，そして，さらなる数理モデルの研究開発が必要とされている津波関連現象を紹介する． |
| 日時 | １１月１３日（水） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 鈴木 政尋 氏（名工大・工） |
| 講演題目 | Large Amplitude Stationary Solutions of the Morrow Model of Gas Ionization |
| 講演要旨 | We consider the steady states of a gas between two parallel plates that is ionized by a strong electric field so as to create a plasma. We use global bifurcation theory to prove that there is a curve of such states with the following property. The curve begins at the sparking voltage and either the particle density becomes unbounded or the curve ends at the anti-sparking voltage. This talk is based on a joint work with Professor W. A. Strauss (Brown Univ.). |
| 日時 | １０月２５日（金） １７時～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 寺澤 祐高 氏（名大・多元数理） |
| 講演題目 | Weak Solutions for a Diffuse Interface Model for Two-Phase Flows of Incompressible Fluids with Different Densities and Nonlocal Free Energies |
| 講演要旨 | We consider a diffuse interface model for the flow of two viscous incompressible Newtonian fluids with different densities in a bounded domain in two and three space dimensions and prove existence of weak solutions for it. In contrast to previous works, we study a model with a singular non-local free energy, which controls some fractional Sobolev norm of the volume fraction. We show existence of weak solutions for large times with the aid of an implicit time discretization. This talk is based on a joint work with Professor Helmut Abels (Regensburg). |
| 日時 | １０月１１日（金） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 小野寺 有紹 氏（東工大・理） |
| 講演題目 | Bernoulliの自由境界問題の双曲型解の構成 |
| 講演要旨 | Bernoulli の自由境界問題とは円環状領域上の調和函数に関する過剰決定問題であり，一方の境界を固定した上で，与えられた Dirichlet および Neumann 境界条件の双方をみたす調和函数が存在するためのもう一方の境界の形状を問うものである．本問題の解（すなわち自由境界）には楕円型および双曲型という異なる二つの解の型が現れ，前者は安定であり後者は不安定である．すなわち，本問題は変分問題として特徴付けることが可能であり，前者は極小点，後者は鞍点として現れる． 先行研究では最大値原理を基礎とする優解劣解法が多く用いられているが，この方法では安定解である楕円型解しか得られない．また，原理的に双曲型解に対しても適用可能である陰函数定理は，その微分喪失構造から Nash-Moser 型定理を用いる必要が生じ複雑な評価が要求されるため，現在に至るまで陰函数定理による双曲型解の構成は成功していなかった． 本講演では微分喪失構造を有する問題へ適用可能な放物型方程式の最大正則性理論を基礎とする陰函数定理を導入する．特に，この方法によって得られる解の族は初期解と同じ正則性をもつ．定理の応用として Bernoulli の自由境界問題の葉層構造をもつ双曲型解を構成する． |
| 日時 | ７月１２日（金） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 中野 直人 氏（京大・国際高等教育院） |
| 講演題目 | グレブナ基底と遅延座標埋め込みによる力学の縮約と再構成について |
| 講演要旨 | 遅延座標埋め込みは力学系の部分的な変数の時系列データから元のアトラクタの情報を引き出すための時系列解析手法である．数学的には Takens (1981), Sauer-Yorke-Casdagli (1991) らによる埋め込み定理として正当化されているが，実用上この手法がどう機能しているかを調べるには，力学系からの次元縮約とセットにして考えると分かりやすい．多項式力学系に対象を限定すると，グレブナ基底による次元縮約と遅延座標埋め込みによる力学再構成は対の関係にあることがわかる．本講演では簡単な例を取り，遅延座標による力学再構成をグレブナ基底による次元縮約を通じた理解を試み，データ駆動モデリングに関する数値計算例も紹介する．この研究は石塚裕大氏（京都大学大学院理学研究科）との共同研究である． |
| 日時 | ６月２８日（金） １６時４５分～１８時１５分 |
| 場所 | １４棟６３１Ｂ（創想館６階ミーティング１Ｂ） |
| 講演者 | Professor Vincent Duchene（University of Rennes） |
| 講演題目 | On the Favrie-Gavrilyuk approximation to the Serre-Green-Naghdi system |
| 講演要旨 | The Serre-Green-Naghdi system (SGN) is a fully nonlinear and weakly dispersive model for the propagation of surface gravity waves. Recently, N. Favrie and S. Gavrilyuk proposed a strategy for producing approximate solutions with the aim of removing numerical difficulties due to the presence of high-order differential operators in SGN. They introduced an "augmented" first-order quasilinear system of balance laws depending on additional unknows and a free parameter. The claim is that in the singular limit when the parameter goes to infinity, solutions of the augmented system approach solutions of SGN. We will discuss a rigorous analysis, based on pioneering works of G. Browning and G.-O. Kreiss, and S. Schochet in the 80's. However, we will see that the presence of order-zero source terms in the singular system of Favrie and Gavrilyuk, as well as the coexistence of two singular parameters (hence three time scales) demand substantial adjustments to the strategy of the aforementioned works. |
| 日時 | ６月２８日（金） １５時００分～１６時３０分 |
| 場所 | １４棟６３１Ｂ（創想館６階ミーティング１Ｂ） |
| 講演者 | Dr. Evgeniy Lokharu（Linköping University） |
| 講演題目 | On a recent progress in the theory of steady waves with vorticity |
| 講演要旨 | The first construction of a travelling wave with vorticity goes back to Gerstner in 1802, who explicitly obtained a periodic solution in infinite depth with nonzero vorticity. The first result for finite depth is due to Dubreil-Jacotin in 1934, who used a power series construction. However only after the paper of Constantin and Strauss published in 2004 this topic has got close attention from the mathematical community. In my talk I will give an overview of a recent progress in the field. In particular, this includes new results on solitary waves, doubly periodic waves and a discussion about the methods. |
| 日時 | ６月５日（水） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 中西 賢次 氏（京大・数理研） |
| 講演題目 | Trudinger-Moser 不等式の最大化問題の臨界非線形項 |
| 講演要旨 | この講演は Ibrahim, Masmoudi, Sani との共同研究(arXiv:1902.00958)に基く。Trudinger-Moser 不等式は、有界関数空間への Sobolev 埋蔵が破綻する臨界ケースにおいて指数型積分の有界性を与えるもので、最良の非線形増大度での不等式は Moser (1971)により、その最良定数を達成する最大化元の存在は Carleson-Chang (1986)によって示された。これらは有界領域の場合であり、全空間ではその指数非線形項を冪で割った増大度が臨界になることが Ibrahim-Masmoudi-Nakanishi (2015)により示されたが、その場合に最良定数が達成されるかは未解決だった。本講演では、全平面と円盤の場合について、最大化元の存在・非存在の境界となる臨界非線形を漸近展開で求め、その帰結として[IMN2015]の非線形項も最大化元を持つことを示す。円盤の場合と比較すると、最大化問題の臨界非線形項との差が小さい為、漸近展開が第３項まで必要になる。証明は、エネルギー等分割で２つの最大化問題に分けてコンパクト性を回復し、非線形積分は対数座標でのソリトンで近似し、展開第３項はソリトン周りの線形化を用いて得られる。 |
| 日時 | ５月３１日（金） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 隠居 良行 氏（東工大・理） |
| 講演題目 | Hopf bifurcation for artificial compressible systems |
| 講演要旨 | Hopf bifurcation problem for artificial compressible systems is considered. It is shown that if a Hopf bifurcation occurs in the incompressible Navier-Stokes system then so does in the artificial compressible system with small artificial Mach number. Convergence of bifurcating solutions as the artificial Mach number goes to zero is also studied for a thermal convection problem. This talk is based on a joint work with Prof. C.-H. Hsia (National Taiwan Univ.), Prof. T. Nishida (Kyoto Univ.) and Dr. Y. Teramoto (Tokyo Tech.). |
| 日時 | ５月１５日（水） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 初鳥 匡成 氏（京大・工） |
| 講演題目 | 一般すべり流理論とKnudsen層解析 |
| 講演要旨 | 低圧気体や微小系の気体の振舞いを記述するためには，ふつう，ボルツマン方程式を用いる必要がある．しかし，幸いにして，低圧・微小化の度合いが軽度な場合，ボルツマン方程式の系統的な漸近解析により，気体の振舞いは大域的には適切なすべり条件の下での流体力学的方程式により記述でき，境界近傍でそれに気体論的な補正（Knudsen層補正）を施せばよいことが示されている（曾根の一般すべり流理論）．Knudsen層の構造は一連の線形化ボルツマン方程式の半空間境界値問題を解いてきまる．一般すべり流理論は主に定常系で確立されている．本講演では，この理論の非定常系への拡張およびKnudsen層問題の数値解析の結果を紹介する．とくに，Knudsen層問題の解の境界上での特異な振舞いについても述べる． |
| 日時 | ４月２６日（金） １６時４５分～ |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 牧野 哲 氏（山口大・名誉教授） |
| 講演題目 | 球対称気体星の非動径振動について |
| 講演要旨 | Euler-Poisson方程式に支配されて運動する気体星の構造について、球対称平衡状態の近傍での球対称摂動の発展については、Nash-Moser定理を応用した研究によりある程度まとまった成果を得ているが、摂動が球対称とは限らない一般の場合は、線型解析すら多くの未解決問題を含んでいる。宇宙物理学で流布している「常識」は数学的に厳密な吟味には堪えない。この問題にかんする現在の研究段階を報告する。プレプリント arXiv:1810.08294 および arXiv:1902.03675 の内容の紹介を主に、未解決問題も説明したい。 |