非線形解析セミナーの記録（２０１６年度）


日時 ３月１日（水） １６時３０分～
場所 １４棟７３３（創想館７階ミーティング３）
講演者 Professor V. V. Pukhnachev (Lavrentyev Institute of Hydrodynamics/Novosibirsk State University)
講演題目 Nonlinear waves in Maxwell continuum

日時 １２月２日（金） １６時４５分～
場所 １４棟７３３（創想館７階ミーティング３）
講演者 丸野 健一氏（早大・理工学術院）
講演題目 非線形波動現象の数理：理論と数値計算
講演要旨 自然界の非線形波動現象は古くから数学者，物理学者を惹きつけ，ソリトンのように理論と応用の両面で科学上のブレークスルーを引き起こしたものもある．ZabuskyとKruskalによるソリトンの発見からすでに５０年を過ぎているが，今もなお，新たな非線形波動現象の発見は科学の様々な分野でなされており，非線形波動現象の数理解析の重要性は益々高まっている．本講演では，主に２次元弱非線形波動の相互作用の理論解析と数値解析，大変形波動現象に対する数値計算法に関連する最近の話題について解説する予定である．

日時 １１月１１日（金） １６時４５分～
場所 １４棟７３３（創想館７階ミーティング３）
講演者 谷 文之氏（明大・研究知財戦略機構）
講演題目 Hele-Shawセル中の界面の安定性のパラメータ依存性
講演要旨 Hele-Shawセル中の界面の時間発展に関する自由境界問題はHele-Shaw問題として知られ，物理・数学および工学の各分野において関心を集めてきた．特に，セル上の一点に湧き出し・吸い込みがある場合に，界面は動径対称に成長し，セル中の2流体の粘性差により不安定化あるいは安定化する事が知られている（Saffman-Taylor不安定性）．このような設定の問題は，石油の回収における問題との関連性もあり以前から盛んに研究されていたが，粘性差に加えて湧き出し・吸い込みの強さをパラメータとして考慮した際の界面の安定性は明らかにされていなかった．今回のセミナーでは，最近の研究から，線形安定性解析に基づいた界面の安定性のパラメータ依存性と，弱非線形解析に基づいた界面パターン形成の研究結果について講演予定である．

日時 １０月２１日（金） １６時４５分～
場所 １４棟７３３（創想館７階ミーティング３）
講演者 Professor Norbert Požár（金沢大・理工）
講演題目 Convergence of the porous medium equation to the Hele-Shaw problem
講演要旨 The porous medium equation is a well-known nonlinear diffusion model describing the evolution of the density of a gas flowing through a porous medium. However, it also appears in many other situations, for instance as a simplified model of a tumor growth, whenever the diffusion coefficient degenerates as the density becomes zero. An important feature of this partial differential equation is the development of a free boundary that propagates with a finite speed. The pressure of the gas is assumed to be proportional to some power of the density. In the stiff-pressure limit, that is, the limit of an incompressible gas, the pressure converges to a solution of a related model, the Hele-Shaw problem. The limit pressure is harmonic in its positive set, and the boundary of this set moves with a normal velocity that is proportional to the normal derivative of the pressure. This can be easily seen formally, but the rigorous justification is rather delicate. In particular, an initial layer develops if the initial data is not matched to the Hele-Shaw problem. Furthermore, the initial density distribution influences the limit solution by increasing the speed of the free boundary in a nontrivial way. In this talk, I will discuss two approaches to establishing the asymptotic limit in a model of tumor growth: a variational approach, which is based on the recent work of Mellet, Perthame, Quirós and Vázquez, and a viscosity solutions approach, which we have developed in a joint work with Inwon Kim (UCLA).

日時 ７月１３日（水） １６時４５分～
場所 １４棟６３１Ａ/Ｂ（創想館６階ミーティング１Ａ/１Ｂ）
講演者 Professor Walter Craig（McMaster University）
講演題目 Vortex filament dynamics
講演要旨 The evolution of vortex filaments in three dimensions is an important problem in mathematical hydrodynamics. It appears in questions on solutions of the Euler equations as well as in the fine structure of vortex filamentation in a superfluid. It is also a setting in the analysis of partial differential equations with a compelling analogy to Hamiltonian dynamical systems. I will give an analysis of a system of model equations for the dynamics of near-parallel vortex filaments in a three dimensional fluid. These equations can be formulated as a Hamiltonian system of partial differential equations, and the talk will describe some aspects of a phase space analysis of solutions, including the construction of periodic and quasi-periodic orbits via a version of KAM theory for PDEs, and a topological principle to count multiplicity of solutions. This is ongoing joint work with C. Garcia (UNAM) and C.-R. Yang (McMaster and the Fields Institute)

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